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Leaving Las Vegas oder das Handeln von Korrelationen

Derivate Magazin - Indizes - 03.10.2010

[Karin Schüller - Derivate Magazin] - „Es ist besser, ungefähr recht zu haben, als sich tödlich zu irren“, bringt Warren Buffet seine Anlageentscheidungen auf den Punkt. Schlagen wir also dem 1930 geborenen Börsenguru, der seine ersten drei Aktien schon im Alter von 11 Jahren erworben haben soll, ein Glücksspiel vor. Wenn der Kurs des Unternehmens Audi steigt – was passiert dann mit dem Kurs des Unternehmens BMW? Steigt er auch, oder fällt er?

Ohne lange zu überlegen, scheinen die Chancen für „Steigen“ tendenziell besser zu stehen, weil so etwas wie die „allgemeine Wirtschaftslage“, ein „Branchenfaktor“ oder andere, wenig greifbare Hintergrundvariablen dazu führen, dass sich die meisten Kurse mehr oder weniger gleichsinnig bewegen. Statistisch spricht man von Korrelation, genauer: von positiver Korrelation.

Lehrbücher bezeichnen Korrelation als ein Maß für den linearen Zusammenhang zweier Variablen. Das lässt sich bildlich vorstellen, indem man gedanklich die Kurse von Audi gegen die Kurse von BMW in ein Koordinatensystem einzeichnet und mit dem Lineal eine Gerade hindurch zieht. Hat diese Gerade eine positive Steigung, so sind die Kursverläufe von Audi und BMW positiv korreliert, und das sind sie umso höher, je näher die einzelnen Punkte an der Geraden liegen. Da meist Renditen mehr interessieren als die Absolutkurse, defi niert sich also im Folgenden die paarweise Korrelation zweier Assets als Kovarianz der (in der Regel logarithmierten Tages-) Renditen, dividiert durch das Produkt der Volatilitäten beider Assets. Praktischerweise liegt die so berechnete Korrelation aus technischen Gründen immer zwischen -1 und +1, so dass sich die Korrelationen beliebiger Assets sofort miteinander vergleichen lassen.

Im eingangs erwähnten Glücksspiel ist die Korrelation ein ganz praktischer Helfer, wenn es genügen soll, ungefähr richtig zu liegen. Beträgt nämlich die Wahrscheinlichkeit genau 50 %, die richtige Bewegung ohne Vorwissen zu erraten, so erhöht das Wissen um eine Korrelation zwischen den beiden Variablen die Trefferchance genau um diese Korrelation. Weiß demnach der Wettkandidat, dass die Renditeverläufe von Audi und BMW in der Vergangenheit eine Korrelation von 0,8 aufwiesen, so kann er seine Trefferchance auf 50 % + 50 %*0,8, also auf satte 90 % verbessern, indem er auf „Steigen“ setzt.

Die Idee dieser Maßzahl lässt sich leicht auf ein Portfolio von N Assets verallgemeinern, indem man einfach den Durchschnitt aus den N*(N-1)/2 paarweisen Korrelationen bildet. Dieser naiven Herangehensweise steht die kanonische oder ökonometrische Defi nition der durchschnittlichen Korrelation gegenüber, die unterschiedlich hohe Volatilitäten und Portfoliogewichte mit einbezieht. Finanzökonometrische Mittelwege versuchen die Information, die in der Vielzahl unterschiedlicher paarweiser Korrelationen steckt, über sogenannte Faktorenanalysen zu komprimieren. Ganz ähnlich wie bei der Kompression einer CD ins MP3-Format wird dabei redundante Information über die Beziehungen der Assets im Portfolio eliminiert. Mit Hilfe dieser Technik lässt sich auch die Vorstellung latenter Markt-Faktoren in ein mathematisches Modell übersetzen.

Der Haken ist aber der Blick auf die Vergangenheit. Defi nitionsgemäß ist Korrelation zwar etwas Statisches, denn die Berechnung berücksichtig nicht die Zeitpunkte, zu denen die Renditen erzielt wurden. In der Realität ändern sich hingegen die Korrelationen zwischen einzelnen Assets im Zeitverlauf mehr oder weniger stark. In Krisenzeiten können Korrelationen rapide ansteigen, was dann dazu führt, dass plötzlich alle Kurse gemeinsam einbrechen. Beobachten ließ sich dieser Effekt etwa im September 2001 oder auch während des Irak-Kriegs im März 2003. Unangenehmerweise sind selbst Hedge-Fonds davor nicht gefeit, wie Luis Seco von der Universität Toronto in einer breit angelegten Untersuchung zeigen konnte.

Da sich Korrelationen demnach dynamisch verhalten, existieren im Markt Annahmen über ihre zukünftigen Entwicklungen. Diese „implizite Korrelation“ verhält sich zur beschriebenen „realisierten Korrelation“ wie die impliziten zu den realisierten Volatilitäten. Implizite Volatilitäten ergeben sich aus dem Black-Scholes-Optionspreismodell, paarweise implizite Korrelationen sind aber nicht beobachtbar. Deshalb lässt sich auch kein Durchschnitt bilden. Näherungsweise ergibt sich aber die kanonische Korrelation eines Index als das quadrierte Verhältnis der Indexvolatilität zur durchschnittlichen Volatilität der Indexkomponenten. Folglich zeigt sich die implizite Korrelation eines Index als quadriertes Verhältnis der impliziten Indexvolatilität zum Durchschnitt der impliziten Volatilitäten seiner Komponenten. Die durchschnittliche implizite Korrelation des Eurostoxx 50 lag von März bis Juni 2006 im Schnitt bei 0,44 und schwankte dabei zwischen 0,05 und 0,77. Korrelationen tendieren dazu, immer wieder zu einem langfristigen Mittel zurückzukehren (Mean-Reversion) und sich in ruhigeren Marktphasen nach unten zu bewegen.

Sowohl realisierte als auch implizite Korrelation lassen sich über die jeweiligen Volatilitäten exakt berechnen, aber die skizzierte „dirty Correlation“ überschätzt die „wahre“ Korrelation nur geringfügig und ist für praktische Zwecke ausreichend genau. Für den DAX ergibt sich etwa laut Sebastien Bossu von Dresdner Kleinwort für die Jahre 2000 bis 2006 ein Unterschied von im Mittel 1,7 % bei der historischen und 1,4 % bei der impliziten Korrelation.

Der Korrelationshandel ist fast so alt wie die Märkte. Es lag schon immer im Interesse der Händler, zuverlässige Wege zur Vorhersage von Marktbewegungen zu fi nden. Die Analysetechniken waren jedoch bis zur Verbreitung schneller und erschwinglicher Computer in den 80er Jahren eher rudimentär. In den letzten dreißig Jahren ist das Interesse an korrelationsbasierenden Strategien stark gestiegen. Zuvor nutzte man Optionen höchstens als Hedging- Instrument, zur Renditeverbesserung und für Hebelzwecke, während das eigentliche Geschäft durch Long-Positionen in Aktien erfolgte. „Kaufen Sie billig, verkaufen Sie nie“, pointiert es Buffet, auch wenn er just im Jahr seines Börseneinstiegs im ersten in Las Vegas eröffneten Casino „El Rancho“ sein Glück mit unserer eingangs aufgestellten Wette hätte versuchen können.

Spätestens in sich seitwärts bewegenden Märkten lassen sich mit Kaufpositionen allein nur noch schwer Millionen machen. In den 90ern nahm das Volatility Trading erst mit Hilfe von Optionen, später auch mittels Variance Swaps zu. Im 21. Jahrhundert sind Variance Swaps zu Standardprodukten geworden. Automatisch Rendite erzielen lässt sich damit inzwischen nicht mehr, und gleichzeitig implizieren komplexe strukturierte Produkte ein wachsendes Korrelationsrisiko für die Investment-Banken. Dispersion und Correlation Trading sind allgegenwärtig – eine neue, versteckte Asset-Klasse.

Auch die Welt strukturierter Kredite entwickelt sich mit halsbrecherischer Geschwindigkeit. Instrumente, die man vor ein paar Jahren noch für exotisch gehalten hat, gelten heute als Standard- Produkte. 2002 waren es handelbare, synthetische Indizes (iBoxx Diversifi ed Index in Europa und Dow Jones CDX Index in Nordamerika), die zum ersten Mal ein Trading mit hohen Volumina und niedriger Spanne in den Kreditmarkt brachten und einen neuen Weg eröffneten, um eine Position im Kreditmarkt aufzunehmen oder zu hedgen. Etwa ein Jahr später revolutionierten Index-Tranchen das Geschäft mit strukturierten Kredit-Derivaten, und heute gehören Nth-To-Default-Baskets, CDOs (Collateratized Debt Obligations) oder CDO2s zu den meist gehandelten, korrelationsbezogenen Produkten.

Im Mai 2005, dem Jahr des hundertsten Geburtstages der „Stadt, die Millionäre macht“, kam es zu dramatischen Bewegungen im Kreditmarkt, die ein Repricing von Korrelation zur Folge hatten und allen Beteiligten die nicht unbeträchtlichen Risiken von Correlation Trading schmerzhaft ins Bewusstsein riefen. Erfolgreiche Strategien und effektives Risikomanagement erfordern gerade hier besonders ausgeprägte Erfahrung und Einblicke in Märkte, Interessenlagen und Modellierungstechniken. Wie relativ der Boom auch heute noch zu sehen ist, verdeutlichte die Teilnehmerzahl auf der „Correlation Trading 2007“, die Ende April zum zweiten Mal in London stattfand und – verglichen mit der „Volatility Trading“ – gerade eine Handvoll hoch spezialisierter Experten aus der Branche versammelte.

Weil Korrelation als Bindeglied zwischen Indexvolatilität und Volatilität der Einzeltitel fungiert, kann sie mit Hilfe der einfachen oder quadrierten Volatilitäten (Varianzen) gehandelt werden. Typischerweise treten hier Hedge-Fonds aufs Parkett und „verkaufen“ Korrelation an Banken. Eine solche Short-Position in Korrelation kann eingegangen werden, indem eine Short-Position in der Indexvolatilität simultan einer Long-Position in den Volatilitäten der Komponenten gegenüber gestellt wird. Solche Konstruktionen sind als „Dispersion Trades“ bekannt. Dispersion ist nichts anderes als der Grad der Streuung von Einzeltiteln in einem Index, gemessen als die Differenz zwischen der durchschnittlichen Volatilität der Einzeltitel und der Indexvolatilität. Hohe Korrelation, also eine ausgeprägte Übereinstimmung der Volatilitäten von Index und Komponenten, entspricht einer geringen Dispersion und umgekehrt. Dispersion und Korrelation sind nichts anderes als zwei Seiten derselben Medaille.

Setzt man den Trade mit Optionen, also über Straddles oder Strangles auf, so ergibt sich der Payoff aus der Differenz der Volatilitäten. Gängiger ist der Einsatz von Variance Swaps, so dass der Payoff den Unterschied der quadrierten Volatilitäten widerspiegelt. Über letztere eliminiert man auch einen Großteil des Einfl usses, den eine mit dem Aktienpreis schwankende Höhe der Vegaposition in den einzelnen Werten und dem Index auf den Gesamtertrag der Strategie hätte. Die Motivation hinter dem Correlation Trading selbst ist die Hoffnung, von der Differenz zwischen impliziter und realisierter Korrelation als Prämie auf das Korrelationsrisiko zu profi tieren: Zwischen April 2001 und April 2006 lag die implizite 3-Monats-Korrelation des S&P 500 im Schnitt rund 10 % über der realisierten 3-Monats-Korrelation. Für Banken erwächst das Korrelationsrisiko mit der Emission strukturierter Produkte wie Worst-Of Calls oder Protected Notes. De facto gehen Banken mit deren Vertrieb Verkaufspositionen in Korrelation ein. Illustrieren sollen dies zwei Produktbeispiele der Credit Suisse.

Für einen 3-Jahres Quality Basket ProNote® wird ein Basket aus zwölf einzelnen Basiswerten gebildet. Die drei Jahre werden in drei einjährige Perioden geteilt, wobei jeweils nur die letzten vier Monate eines Jahres die Beobachtungsperiode bilden. Während jeder Beobachtungsperiode wird der Schlusskurs jedes Basiswerts an jedem Handelstag aufgezeichnet. Nur wenn keiner der Schlusskurse in der Beobachtungsperiode unter 60 % des Ausgangslevels fällt, erhält der Investor seinen festen Coupon in Höhe von 8 % ausbezahlt. Je geringer die Korrelation ist, umso mehr bewegen sich die Kurse in unterschiedliche Richtungen, und umso wahrscheinlicher wird einer von ihnen die Barriere berühren. Der Investor kauft also Korrelation (und verkauft gleichzeitig Volatilität).

Der Podium ProNote® hingegen garantiert einen hohen Coupon (70 %), wenn zum Fälligkeitszeitpunkt alle 15 Aktien im Basket über ihrem Ausgangslevel liegen. Für jede Aktie, die bei Fälligkeit unter dem Ausgangsniveau notiert, wird jedoch der Coupon um 10 % reduziert. Auch hier geht der Investor eine Verkaufsposi tion in Volatilität und eine Kaufposition in Korrelation ein. Fällt die Korrelation auf Null, so werden etwa 50 % der Aktien kontinuierlich das Ausgangsniveau unterschreiten – der Investor geht dann gänzlich leer aus.

Meist ist dem Investor gar nicht bewusst, dass er mit solchen Produkten Korrelation kauft, wenngleich nicht ausschließlich. Auch die angerissenen Dispersion Trades sind keine reinen Korrelationstrades, sondern in der beschriebenen einfachen Form hängt das Ergebnis zusätzlich von der Entwicklung der Volatilitäten ab. Einen Ausweg bietet die geschickte Gewichtung der Positionen in Indexvolatilität und Einzelaktien-Volatilität, so dass der Trade zu Beginn vega-neutral aufgesetzt wird. Das Vega, also die Volatilitäts- Sensitivität beider Positionen, muss dazu bei Eingang des Trades betragsmäßig identisch sein. Das bedeutet letztlich nichts anderes, als dass die Einzelaktien-Volatilität mit der Korrelation gegenüber der Indexvolatilität (unter-)gewichtet wird. Allerdings sind die Vegas sowohl der Einzelpositionen als auch der Indexposition nicht konstant und ändern sich sowohl im Zeitablauf als auch mit Veränderung im Marktpreis des Basiswertes, was die Strategie weiter erschwert.

Mathematisch lässt sich zeigen, dass der Payoff, wie gewünscht, mit steigender Korrelation sinkt und mit wachsender Korrelation fällt. Eine Verschiebung der Volatilitätskurve zeigt allerdings immer noch deutliche Auswirkungen auf das Ergebnis. Empirisch wird deutlich, dass Korrelation und Volatilität tatsächlich wiederum selbst korreliert sind. So gesehen kann Korrelation auch als Hedge gegen ein Volatilitäts-Portfolio eingesetzt werden.

Neben den dargestellten Varianten, Korrelation mittels Optionskonstruktionen oder Variance Swaps zu handeln, bieten sich als dritter Weg die Correlation Swaps an. Vereinbarungsgemäß werden alle Titel innerhalb der Correlation Swaps gleich gewichtet, womit auch alle paarweisen Korrelationen gleichmäßig stark einfl ießen. Das kann von Vorteil sein – oder auch nicht. Um Dispersion Trades auf große Indizes über einen der beiden erstgenannten Wege aufzusetzen, wäre eine kaum überschaubare Anzahl von Einzelpositionen notwendig. Wenn überhaupt auf jeden einzelnen Titel liquide Optionen oder Swaps zur Verfügung stehen, so entstehen zumindest verhältnismäßig hohe Transaktionskosten. Zudem verlangt der „Eigenbau“ auch eine Entscheidung des Traders über die Gewichtung. Intuitiv vernünftig mag zunächst eine Indexgewichtung erscheinen, aber Indexgewichte ändern sich im Lauf der Zeit, und Titel mögen neu aufgenommen werden oder herausfallen.

Letzteres betrifft in der Praxis meist kleinere Unternehmen, so dass die Zusammensetzung des Index und die Balance des Trades dadurch in der Regel nicht wesentlich berührt werden. Ereignisse wie die Fusion von Royal Dutch und Shell am 20. Juli 2006 verlangen jedoch ein rasches Handeln; immerhin lag der Anteil von Royal Dutch im Eurostoxx 50 zu jenem Zeitpunkt bei 6 %. Die Verschiebung von Indexgewichten durch die relativen Änderungen der Aktienkurse kann mit Hilfe von Gamma Swaps ausgeglichen werden, die zu diesem Zweck aber in der Praxis bisher nur sporadisch genutzt werden.

Positiv aufgefasst, eröffnen sich hier durchaus neue Handelschancen. Der Trader kann ganz bewusst Basiswerte auswählen oder vermeiden, weil sie nicht zu seiner Strategie passen, weil quantitative Analysen wie eben das Wissen um geplante Fusionen unerwünschte Risiken offen legen oder um zusätzliche Renditechancen aus einer optimierten initialen Korrelation zu generieren. Letzten Endes fi ndet man Dispersion Trades dann praktisch meist in einer solchen reduzierten Form, etwa auf die Top-50-Titel des S&P 500, die dann entsprechend ihrer Anteile im Index neu gewichtet werden. Oder es handelt sich um Trades auf kleinere Indizes wie den Eurostoxx 50 oder den DAX 30.

Weitere interessante Ansätze lassen sich auf Basis der Korrelation der impliziten Volatilitäten einzelner Ausführungspreise und der unterschiedlichen Verfälle untereinander verfolgen. Einer der Pioniere ist hier Peter van Kleef von Lakeview Arbitrage, der in München und London an innovativen, computergestützten Strategien feilt.

Volatilitäten, zumindest implizite, haben den Vorteil, dass sie im Markt unmittelbar beobachtet werden können und über die einzelnen Verfälle durch die sogenannte „Forward“-Beziehung direkt miteinander verbunden sind. Längere Volatilitäten setzen sich aus der Wurzel der Summe der quadrierten einzelnen Tagesvolatilitäten, geteilt durch die Anzahl der Tage zusammen. Es besteht also ein direkter zwingender Zusammenhang. Dies macht die Korrelation von Volatilitäten wesentlich stabiler als beispielsweise die von Aktienkursen, wo nicht einmal gesagt ist, dass Aktienkurse von Firmen derselben Branche im gleichen Land unmittelbar voneinander beeinfl usst werden. Wetten auf die Korrelation von unterschiedlichen Volatilitäten des gleichen Basiswertes sind daher tendenziell stabiler als Wetten auf unterschiedliche Basiswerte.

Correlation Trading ist kein Spiel für jedermann. Zwar lassen sich Korrelationen über ausgefeilte mathematische Modelle besser beschreiben als Renditeverläufe, und in geringem Maße sind sie sogar prognostizierbar, aber Irrtümer sind folgenschwer. Zum Trost bleibt: Auch Buffet konnte wohl irren – denn sein erstes Geld hat er der Legende zu Folge nicht mit den ominösen drei Aktien, sondern mit dem Verkauf von Flipperautomaten verdient. Womit wir letztlich doch wieder im Epizentrum des Glücksspiels landen.

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